Cho dãy số giải pháp đều u1, u2, u3, ... Un (*), khoảng cách giữa nhị số hạng thường xuyên của dãy là d.
Bạn đang xem: Bài tập toán 7 nâng cao
+ khi đó số các số hạng của hàng (*) là: (1)+ Tổng các số hạng của hàng (*) là: (2)+ Đặc biệt từ phương pháp (1) ta có thể tính được số hạng lắp thêm n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)dHoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n + 1) /2DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Hướng dẫn giảiCách 1:Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của nhị số thoải mái và tự nhiên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của các đẳng thức bên trên ta có:3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)3(a1 + a2 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ Cách 2: Ta có3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).33A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)<(n - 2) - (n - 1)>3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)3A = n(n + 1)(n + 2) * tổng quát hoá ta có:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong số ấy k = 1; 2; 3; …Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)<(k + 2) - (k - 1)> = 3k(k + 1)Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)Hướng dẫn giảiÁp dụng tính thừa kế của bài bác 1 ta có:4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + ... + (n - 1)n(n + 1).44B = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - <(n - 2)(n - 1)n(n + 1)>4B = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)Hướng dẫn giảiTa thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)2.5 = 2.(2 + 3)3.6 = 3.(3 + 3)4.7 = 4.(4 + 3)…….n(n + 3) = n(n + 1) + 2nVậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2nC = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2nC = <1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + (2 + 4 + 6 + … + 2n)⇒ 3C = 3.<1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)> + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n)3C = n(n + 1)(n + 2) + ⇒ C = + = Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + .... + n2Hướng dẫn giảiNhận xét: những số hạng của bài một là tích của nhị số tự nhiên và thoải mái liên tiếp, còn ở bài bác này là tích của nhì số tự nhiên giống nhau. Cho nên vì thế ta gửi về dạng bài xích tập 1:Ta có:A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ n(n + 1)A = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + .... + n.(n + 1)A = 12 + 1.1 + 22 + .1 + 32 + 3.1 + ... + n2 + n.1A = (12 + 22 + 32 + .... + n2) + (1 + 2 + 3 + ... + n)Mặt không giống theo bài tập 1 ta có: và 1 + 2 + 3 + .... + n = ⇒D = 12 + 22 + 32 + .... + n2 = Bài 5: Tính E = 13 + 23 + 33 + ... + n3Hướng dẫn giảiTương tự việc ở trên, khởi nguồn từ bài toán 2, ta gửi tổng B về tổng E:B = 1.2.3 + 2.3.4 + 4.5.6 + ... + (n - 1)n(n + 1)B = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 -1).3.(3 +1) + ....+ (n - 1).n.(n + 1)
B = (23 - 2) + (33 - 3) + .... + (n3 - n)B = (23 + 33 + .... +n3) - (2 + 3 + ... + n)B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - (1 + 2 + 3 + ... + n)B = (13 + 23 + 33 + ... + n3) - ⇒ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = B + Mà ⇒ E = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = +